Wenn ein JA sagt "das Kind braucht die Mutter", dann kannst Du ganz gut erwiedern, dass dies nur zutrifft, wenn die Mutter auf diese Rollen gut ausfüllt. Mehrfach hast Du hier geschrieben, Du möchtest nicht sagen, sie sei eine schlechte Mutter. Deine Beschreibungen hingegen zeigen ganz wesentliche Defizite von ihr im Umgang mit dem Kind.
Sie scheint nach Deinen Aussagen noch eher das Bedürfnis zu haben, sich auszuleben. Das Übernehmen von Verantwortung scheint ihr schwer zu fallen.
Vielleicht ist es ja sinnvoll, dass Du beim JA weniger von "schlechter" oder "guter" Mutter erzählst, sondern klar dokumentierst, welche Vorfälle es schon gegeben hat, die Dich dazu bewegen, das alleinige Sorgerecht anzustreben.
Das JA reagiert nicht immer automatisch. Das hat seine Vor- und auch seine Nachteile. Reagiert das JA zu schnell, wird sich darüber beschwert, dass die Familienautonomie unterbunden wird. Ein voreiliges Eingriffsrecht besteht durch das JA nicht, sondern erst wenn bekannt ist, es besteht "Gefahr für das Kindeswohl". Diesen Nachweis hast Du zu führen.
Da könnte ein Papatagebuch helfen, wo Du bestehende Schwierigkeiten aufschreibst.
Im Übrigen ist es nicht Sache des JA eine Sorgerechtsklage anzustreben, sondern das ist Deine Aufgabe, wenn Du das möchtest. Das JA agiert hier vielmehr als Sachverständige. Zudem ist auch diese Behörde zu überlastet um auch präventiv zu handeln, sondern oft erst dann wenn das Kind in den Brunnen gefallen ist. So hart wie es ist.
Es kann helfen, sich beraten zu lassen, immer mal wieder zum JA zu gehen, denn auch sie dokumentieren die Gespräche, die dann bei Gericht vorgetragen werden. Sie müssen Aktennotizen machen.
Ich wünsche Eurem Kind, das was er wirklich braucht.
Sadhana